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附录A：数学基础速查

本附录为速查手册风格，面向有一定编程基础但需要复习数学的读者。每个概念配有公式和一句话直觉解释。

A.1 线性代数​

向量（Vector）​

v=[v1v2⋮vn]∈Rn\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^n

向量是有方向的数组，在 LLM 中用于表示 token embedding——每个词对应一个高维向量。

点积（Dot Product）​

u⋅v=∑i=1nuivi=∥u∥∥v∥cos⁡θ\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \cos\theta

点积衡量两个向量的相似程度；cos⁡θ\cos\theta 越接近 1，方向越一致。Attention 机制中 QK⊤Q K^\top 本质就是大批量点积。

矩阵乘法（Matrix Multiplication）​

C=AB,Cij=∑kAikBkjC = AB, \quad C_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj}

A∈Rm×kA \in \mathbb{R}^{m \times k}，B∈Rk×nB \in \mathbb{R}^{k \times n}，结果 C∈Rm×nC \in \mathbb{R}^{m \times n}。线性变换的组合等于矩阵相乘。

转置（Transpose）​

(AB)⊤=B⊤A⊤(AB)^\top = B^\top A^\top

行列互换；Attention 公式中 K⊤K^\top 把 key 矩阵转置以便与 query 做矩阵乘法。

逆矩阵（Inverse Matrix）​

AA−1=I,仅方阵且行列式非零时存在AA^{-1} = I, \quad \text{仅方阵且行列式非零时存在}

逆矩阵用于"撤销"线性变换；深度学习中很少直接求逆，通常用梯度下降代替。

特征值与特征向量（Eigenvalue & Eigenvector）​

Av=λvA\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}

矩阵 AA 作用于特征向量 v\mathbf{v} 时，方向不变，仅缩放 λ\lambda 倍。特征值越大，该方向携带的"信息量"越多。

奇异值分解 SVD（Singular Value Decomposition）​

A=UΣV⊤,A∈Rm×nA = U \Sigma V^\top, \quad A \in \mathbb{R}^{m \times n}

  • U∈Rm×mU \in \mathbb{R}^{m \times m}：左奇异向量（正交）
  • Σ∈Rm×n\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times n}：对角奇异值矩阵（非负，降序排列）
  • V∈Rn×nV \in \mathbb{R}^{n \times n}：右奇异向量（正交）

低秩近似：取前 rr 个最大奇异值，A≈UrΣrVr⊤A \approx U_r \Sigma_r V_r^\top，用 r(m+n)r(m+n) 个参数近似原矩阵。LoRA 正是利用这一思想：冻结原权重 WW，只训练低秩扰动 ΔW=BA\Delta W = BA（B∈Rm×rB \in \mathbb{R}^{m \times r}，A∈Rr×nA \in \mathbb{R}^{r \times n}，r≪min⁡(m,n)r \ll \min(m,n)）。

A.2 微积分与梯度​

导数与偏导数​

f′(x)=dfdx=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

∂f∂xi：固定其他变量，只对 xi 求导\frac{\partial f}{\partial x_i} \text{：固定其他变量，只对 } x_i \text{ 求导}

偏导数衡量"单独改变某个参数时，损失如何变化"。

链式法则（Chain Rule）​

dzdx=dzdy⋅dydx\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}

多层复合函数求导时，逐层相乘。反向传播（Backpropagation）本质是对整个计算图自动应用链式法则。

梯度下降（Gradient Descent）​

θ←θ−η∇θL\theta \leftarrow \theta - \eta \nabla_\theta L

  • θ\theta：模型参数
  • η\eta（learning rate，学习率）：步长大小
  • ∇θL\nabla_\theta L：损失 LL 对 θ\theta 的梯度（指向上坡方向，取负号故向下走）

沿着梯度的反方向更新参数，损失函数逐步减小。

计算图（Computation Graph）直觉​

将计算过程表示为有向无环图（DAG）：节点是操作，边是数据流。前向传播从输入到输出；反向传播从输出到输入，沿每条边传递梯度。PyTorch 的 autograd 自动构建并反向传播此图。

:::tip 记忆技巧 链式法则 = "路径上所有斜率相乘"。计算图中从损失到某参数的每条路径，都贡献一份梯度。 :::

A.3 概率与统计​

概率分布与条件概率​

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

LLM 生成文本的本质：P(next token∣context)P(\text{next token} \mid \text{context})——在给定上下文的条件下，预测下一个 token 的概率分布。

Softmax​

softmax(zi)=ezi∑jezj\text{softmax}(z_i) = \frac{e^{z_i}}{\sum_j e^{z_j}}

将任意实数向量（logits）转换为和为 1 的概率分布。温度参数 TT 可调节分布锐度：softmax(zi/T)\text{softmax}(z_i / T)，T→0T \to 0 趋向 argmax，T→∞T \to \infty 趋向均匀分布。

交叉熵损失（Cross-Entropy Loss）​

L=−∑iyilog⁡y^iL = -\sum_i y_i \log \hat{y}_i

  • yiy_i：真实标签（one-hot，正确类别为 1，其余为 0）
  • y^i\hat{y}_i：模型预测概率

对于语言模型的 next-token prediction，简化为 L=−log⁡y^correctL = -\log \hat{y}_{\text{correct}}——正确 token 的概率越高，损失越小。

KL 散度（Kullback-Leibler Divergence）​

DKL(P∥Q)=∑iP(i)log⁡P(i)Q(i)≥0D_{KL}(P \| Q) = \sum_i P(i) \log \frac{P(i)}{Q(i)} \geq 0

衡量分布 QQ 与参考分布 PP 的差异；等于 0 当且仅当两分布完全相同。RLHF 中用于约束策略模型不偏离参考模型过远：LRLHF=r(x)−β⋅DKL(πθ∥πref)L_{\text{RLHF}} = r(x) - \beta \cdot D_{KL}(\pi_\theta \| \pi_{\text{ref}})。

:::info 交叉熵与 KL 散度的关系 H(P,Q)=H(P)+DKL(P∥Q)H(P, Q) = H(P) + D_{KL}(P \| Q)。最小化交叉熵等价于最小化 KL 散度（当真实分布 PP 固定时）。 :::

A.4 信息论基础​

熵（Entropy）​

H(X)=−∑ipilog⁡2pi（单位：bits）H(X) = -\sum_i p_i \log_2 p_i \quad \text{（单位：bits）}

衡量随机变量的不确定性。pip_i 越均匀，熵越高（越不确定）；某一事件概率趋近 1，熵趋近 0（完全确定）。

分布示例ppH(X)H(X)
确定事件[1,0][1, 0]0 bits
均匀二值[0.5,0.5][0.5, 0.5]1 bit
均匀八值[1/8,…][1/8, \ldots]3 bits

困惑度（Perplexity）​

PPL=2H(X)=2−1N∑i=1Nlog⁡2P(wi∣w<i)\text{PPL} = 2^{H(X)} = 2^{-\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} \log_2 P(w_i \mid w_{<i})}

困惑度是语言模型的核心评估指标，直觉上等于"模型在每个位置平均需要从多少个候选中猜测下一个词"。

  • PPL=1\text{PPL} = 1：模型完全确定（完美预测）
  • PPL=V\text{PPL} = V（词表大小）：模型完全随机猜测
  • 典型 GPT-2 在 WikiText-103 上约 18–29；GPT-4 级别约 5–10

与熵的关系：PPL=eH\text{PPL} = e^{H}（使用自然对数时），即困惑度是熵的指数。熵每减少 1 bit，困惑度减半。

:::warning 注意 困惑度依赖测试集和 tokenizer，不同模型之间的 PPL 只有在相同条件下才可比较。 :::

小结​

概念核心公式在 LLM 中的作用
点积u⋅v\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}Attention 相似度计算
SVD / 低秩A≈UrΣrVr⊤A \approx U_r \Sigma_r V_r^\topLoRA 参数高效微调
链式法则dzdx=dzdydydx\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}反向传播基础
梯度下降θ←θ−η∇θL\theta \leftarrow \theta - \eta \nabla_\theta L参数更新规则
Softmaxezi/∑ezje^{z_i}/\sum e^{z_j}logits → 概率分布
交叉熵−∑yilog⁡y^i-\sum y_i \log \hat{y}_i语言模型训练损失
KL 散度∑Plog⁡(P/Q)\sum P \log(P/Q)RLHF 约束项
困惑度eHe^{H}语言模型质量评估

掌握以上数学工具后，正文各章中出现的公式推导将不再是障碍——它们都是这些基础积木的组合。